Ceci n’est pas une croissance exponentielle

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Chère lectrice, cher lecteur,

Dans le langage commun, une « croissance exponentielle » a tendance à désigner quelque chose qui croît « de plus en plus vite ». Un peu comme ceci :

Ou ceci, pour prendre un exemple d’actualité :

Pourtant, ces deux graphes ne sont pas des croissances exponentielles.

Pour comprendre pourquoi, petit retour sur ce qu’est exactement une exponentielle.

Le problème du nénuphar

Nous ne sommes pas habitués à travailler intuitivement avec des croissances exponentielles.

Illustration avec le problème du nénuphar [1].

Dans une mare, il y a un nénuphar qui pousse. Chaque jour, il double de surface. Au bout de 30 jours, il a entièrement recouvert la mare.

Mais au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de la mare ?

La réponse est bien 29 jours (et non 15 !) : si le nénuphar double de surface chaque jour, il devait occuper la moitié de la mare la veille du 30e jour.

Ainsi, si le nénuphar occupe 1 cm² le premier jour, il occupera le lendemain 2 cm², puis 4 cm², 8 cm², etc. ; autrement dit, il occupe 2x cm² avec x le nombre de jours écoulés depuis le premier jour.

C’est un exemple de fonction exponentielle : la variable (comme le temps écoulé) apparaît en exposant. Les fonctions 5x, 102x ou 3,4x en sont d’autres exemples [2].

Elles possèdent toutes une propriété unique : en n’importe quel point, leur croissance est égale (ou proportionnelle) à leur valeur.

Ainsi :

  • Au premier jour, le nénuphar occupe 1 cm², il croît de 1 cm²
  • Au second jour, il occupe désormais 2 cm² et croît alors de 2 cm²
  • Au troisième jour, il occupe 4 cm² et croît de 4 cm²
  • Etc.

C’est ce qui explique que l’on rencontre des croissances exponentielles dans de nombreux phénomènes :

  • La croissance d’une population d’animaux

La croissance d’une population d’animaux dépend bien sûr directement du nombre (de couple) d’animaux. Les jeunes deviennent ensuite adultes et enfantent à leur tour un nombre de bébés dépendant de leur propre population. Et c’est ainsi que vous êtes submergés de pucerons !

  • La propagation d’une réaction nucléaire.

Dans une réaction en chaîne, un neutron heurtant un atome libère à la fois de l’énergie et… plusieurs neutrons supplémentaires, qui pourront à leur tour heurter d’autres atomes et ainsi de suite.

  • La diffusion d’une épidémie

Lorsqu’une maladie est contagieuse, chaque personne infectée peut la diffuser à un certain nombre de personnes saines. Le nombre de nouveaux infectés est donc proportionnel au nombre de personnes déjà infectées.

  • La valeur d’un placement à taux fixe

Chaque année, la valeur du capital augmente du taux d’intérêt, appliqué non seulement au capital initial, mais également à tous les intérêts perçus depuis ! C’est ce qui fait que, même avec un taux d’intérêt faible, on atteint toujours des sommes très conséquentes avec le temps.

Un certain Albert Einstein disait d’ailleurs des intérêts composés qu’il s’agissait de « la plus grande force de l’univers »…

Bien entendu, une croissance ne reste jamais exponentielle indéfiniment, des limites physiques finissent toujours tôt ou tard par contrebalancer ou interrompre cette croissance : multiplication des prédateurs, manque de matière fissile, limite d’investissement, immunité acquise par des personnes déjà infectées…

Tout cela étant dit, l’exponentielle n’est pas la seule fonction qui « croît de plus en plus vite » que l’on peut fréquemment rencontrer [3].

Sans maîtrise, la puissance n’est rien

Une fonction classique que l’on peut aisément confondre avec l’exponentielle est la fonction puissance, comme x², 4x3, (x/2)5

Dans ce cas, c’est la variable (ex. le temps écoulé) qui est élevée à une puissance fixe (alors que dans l’exponentielle, c’est une valeur fixe qui est élevée à la puissance du temps écoulé).

Les phénomènes suivant des lois de puissance sont également très répandus, mais à la différence de ceux suivant une loi exponentielle, ils n’ont pas de raison particulière de croître de façon proportionnelle à leur valeur.

Par exemple :

  • Le décollage d’une fusée

Un véhicule qui est soumis à une poussée fixe va avancer de plus en plus vite, mais sa position va varier comme le carré du temps écoulé (et non une exponentielle).

  • La position d’un objet en chute libre

De la même façon, un objet qui tombe (sans frottement) s’approche de plus en plus vite du sol, selon le carré du temps écoulé : la « poussée » est ici l’attraction terrestre.

  • Le volume et la surface d’un ballon

En gonflant un ballon, son diamètre augmente, mais son volume croît comme le cube de ce diamètre et sa surface comme le carré de ce diamètre.

Mais alors, comment reconnaître une véritable croissance exponentielle ?

Puissance contre exponentielle

Première chose, aussi petite que soit la base de l’exponentielle et aussi grand que soit l’exposant de la puissance, il y aura toujours un point à partir duquel une fonction exponentielle finira par dépasser une fonction puissance.

Si vous vous souvenez de la première image plus haut, c’était effectivement une loi de puissance – et non exponentielle :

Une fonction exponentielle (ici 1,4x) finit toujours par rattraper une fonction puissance (ici 0,01*x4)

Il faut bien reconnaître qu’à l’œil nu il est pratiquement impossible de reconnaître si une fonction donnée est exponentielle…

Mais si l’œil humain a du mal à catégoriser une courbe, il reconnaît très facilement une droite

Qu’à cela ne tienne, nous pouvons transformer les courbes en droite à l’aide d’échelles logarithmiques.

Transformer les courbes en droites

Vous avez sûrement déjà rencontré ces graphes dont l’échelle n’augmente pas linéairement, mais par multiple de 10 [4]. Voilà ce que donne le graphe précédent avec une ordonnée (échelle verticale) logarithmique :

Les mêmes fonctions, mais sur une échelle logarithmique

L’intérêt de ce type d’échelle est clair : l’exponentielle est devenue une droite immédiatement reconnaissable – et aisément discernable de la puissance qui reste courbe.

Il est également possible d’utiliser une échelle dite log-log, où non seulement l’ordonnée mais aussi l’abscisse est logarithmique :

… et maintenant une double échelle logarithmique

Cette fois-ci, c’est l’inverse : la puissance apparaît comme une belle droite, aisément discernable de l’exponentielle courbe.

Mais à quoi ça sert ?

Être capable de comprendre quel type de loi suit une fonction est d’une grande importance en analyse de données.

De nombreux modèles fonctionnent très bien avec des variables qui varient linéairement entre elles (lorsque l’une est proportionnelle à l’autre) et beaucoup moins bien lorsque les relations sont non linéaires (par exemple dans le cas où l’une dépend de l’exponentielle ou de la puissance de l’autre).

Deviner la loi permet d’appliquer des transformations qui permettront aux variables d’être directement proportionnelles entre elles.

Ainsi, si une grandeur Y varie comme le carré d’une autre grandeur X, au lieu de modéliser Y en fonction de X et de devoir travailler sur une « courbe », il suffira alors tout simplement de modéliser Y en fonction de X².

COVID-19 et croissance exponentielle

Pour finir, que se passe-t-il si l’on passe le nombre de cas mondiaux de COVID-19 présenté au début de cette lettre en échelle logarithmique ?

Contrairement à ce que le graphe initial pouvait laisser penser, l’évolution générale n’est pas du tout une exponentielle : ce graphe montrerait alors une seule belle droite.

En revanche, il permet de faire apparaître des détails qui étaient complètement invisibles avec l’échelle linéaire.

On y voit notamment clairement les différentes vagues de croissances exponentielles de l’épidémie :

  • En janvier, lorsque l’épidémie est apparue en Chine, avant d’y être contenue
  • Fin mars-début avril, lorsque l’Europe a été touchée
  • Puis en mai-juin, lorsque les Etats-Unis et le Brésil sont à leur tour devenus des foyers

Les pentes des droites illustrent l’intensité des vagues : ce sont les fameux coefficients « R » dont on a tant entendu parler.

Ainsi, même en valeur absolue le nombre de cas continue d’augmenter plus rapidement que jamais [5], la dynamique actuelle est bien à une décélération, sous l’effet à la fois des mesures de distanciation et de confinement et de l’immunité vraisemblablement acquise par les personnes ayant déjà été infectées.

Méfiez-vous donc des courbes qui « montent de plus en plus rapidement » : non seulement elles peuvent receler des phénomènes masqués, mais également donner une image trompeuse des fondamentaux !

À la prochaine,

Erwan


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[1] Ou du nénufar !
[2] Il est même possible de définir ces fonctions lorsque x n’est pas entier (avec quelques complexités lorsque c’est un nombre négatif qui est élevé à une puissance non entière).
[3] Ce qui n’est d’ailleurs vrai que pour les exponentielles avec base supérieure à 1 et exposant positif : une fonction comme 0,1x / 10-x va décroître et non croître.
[4] Le 10 n’a rien de magique, mis à part qu’il est pratique vu que l’on a l’habitude de compter en base 10. On pourrait tout à fait utiliser une échelle logarithmique en base 2 ou tout autre nombre, le résultat sera le même.
[5] Sachant qu’on ne mesure pas directement le nombre de cas réels, mais le nombre de cas détectés : la croissance des capacités de test influence évidemment significativement le résultat…

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